לומדים פיזיקה: אתגר ערימת הספרים, או איך להגיע לערימה אינסופית שלא נופלת (כמעט) 📚
- kidshamal
- 10 ביולי
- זמן קריאה 4 דקות
דמיינו שאתם יושבים ליד השולחן עם ערימה של ספרים, ופתאום מתחיל להיות לכם לשעמם. מה אם נגיד לכם שאפשר להפוך את הרגע הזה למעבדה מדעית מרתקת?
הכירו את "בעיית ערימת הספרים" - אתגר שנראה פשוט אבל מסתיר בתוכו חידה מתמטית מדהימה ששונה מחידת ה'כמה קוביות במגדל'...
מה היא "בעיית ערימת הספרים?"
הרעיון פשוט: ניקח ספר ונניח אותו על קצה השולחן כך שחלק ממנו בולט החוצה, אבל הוא עדיין לא נופל.
עכשיו נניח עליו ספר נוסף, גם הוא בולט החוצה, מעבר לספר שכבר בולט.
נמשיך כך עם עוד ועוד ספרים, זה על גבי זה, כל אחד בולט החוצה מעבר לספר שהוא מונח עליו.
השאלה המעניינת היא: כמה רחוק מהשולחן אפשר להגיע (ועם כמה שפחות ספרים) בלי שהערימה תיפול?
התשובה תפתיע אתכם: תיאורטית, אפשר להגיע עד אינסוף! 🤯
הבעיה הזאת ידועה כבר מהמאה ה-19 ויש לה כמה שמות: "בעיית ערימת הספרים" או בשמה האנגלי "Leaning Tower of Lire" (המגדל הנטוי).
רגע, לפני שאתם ממשיכים...
איך מתאים לקרוא מכאן והלאה את ההסברים?
אם אתם בגילאי 6-7:
תוכלו להתנסות ביחד בחלק המעשי עם עזרת מבוגר, ולהבין את הרעיון הבסיסי של איזון ומרכז מסה.
זה בסדר אם לא מבינים את כל המספרים - החוויה של בניית המגדל היא הכי חשובה.
אם אתם בגילאי 8-13:
תוכלו להבין את רוב המושגים, לעשות את הניסוי בעצמכם, ואפילו לנסות לחשב איפה צריך לשים כל ספר.
ואם אתם בגילאי 14 ומעלה:
תוכלו להתעמק במושגים המתמטיים, ואולי אפילו לחקור את המחקר של פרופ' צוויק על השיטות היעילות יותר.
איך זה עובד? הפיזיקה מאחורי הקסם 🪄
הסוד נמצא במושג הפיזיקאי "מרכז המסה".
מרכז המסה הוא הנקודה שבה כל המשקל של הערימה - מתרכז .
בדיוק כמו נקודת האיזון של נדנדה.
"מסה" היא המילה המדעית למשקל של חפץ, וכדי שהערימה תישאר באיזון ולא תיפול, מרכז המסה שלה חייב להיות בדיוק מעל השולחן.
בואו נראה איך זה עובד בפועל:
ספר אחד 📙
עם ספר אחד, זה די פשוט. מרכז המסה של הספר נמצא באמצעו. לכן, אפשר להניח אותו כך שכמעט חצי ממנו בולט מחוץ לשולחן וחצי נשאר על השולחן. זה כמו לאזן קש על האצבע - הנקודה שהיא בדיוק באמצע.
שני ספרים 📙📘
כאן זה נהיה יותר מעניין! הספר העליון יכול לבלוט חצי מהאורך שלו מעל הספר התחתון. אבל עכשיו יש לנו שני ספרים, ומרכז המסה של השניים ביחד נמצא באמצע ביניהם.
אם נחשב את זה, הערימה של שני הספרים יכולה לבלוט רבע נוסף מעל השולחן.
בסה"כ: חצי פלוס רבע = שלושה רבעים מאורך הספר!
שלושה ספרים ויותר 📙📘📗
ככל שנוסיף עוד ספרים, כל ספר יוכל לבלוט פחות מהקודם, אבל עדיין קצת.
הספר השלישי יבלוט שישית מהאורך שלו, הרביעי - שמינית, וכן הלאה. (תחשבו על זה רגע).
הקסם המתמטי: הסדרה ההרמונית ♾️
אז אם לוקחים בחשבון את המתמטיקה (ראיתם מה עשינו כאן? 😉) - המרחק הכולל של החלק הבולט בערימה הוא: 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10...
זאת נקראת "סדרה הרמונית", ויש לה תכונה מדהימה: הסכום שלה הוא אינסוף!
זה אומר שתיאורטית, אם יש לנו מספיק ספרים, אפשר להגיע לכל מרחק שנרצה.
הידעתם? כך גם אפשר לאכול חבילת שוקולד בלי שהיא תיגמר, לנצח! כל יום תאכלו חצי ממה שנשאר לכם: ביום ראשון חצי חבילה, ביום שני חצי מזה, כלומר, רבע. ביום שלישי שמינית וכן הלאה. מבחינה מתמטית -השוקולד לעולם לא ייגמר... (רק שבפועל... אחרי כמה ימים תישארו עם פירורים שלא כל כך תצליחו לחצות ל-2...) 🍫
אבל יש בעיה קטנה...
הסדרה הזאת גדלה לאט מאוד.
כדי שהערימה תבלוט מרחק של ספר אחד שלם מחוץ לשולחן, צריכים ארבעה ספרים.
כדי לבלוט מרחק של שני ספרים צריך כבר 31 ספרים (כי מוסיפים כל פעם מספר יותר קטן ויותר קטן בסדרה החשבונית)! ולמרחק באורך של שלושה ספרים מקו השולחן - נצטרך כבר 227 ספרים 😱.
כמה זה באמת איטי?
אז הנה נתון מדהים: כדי לבנות מגדל שיבלוט הצידה 10 ספרים מחוץ לשולחן, נצטרך כמעט שליש מליארד(!!!) ספרים , וליתר דיוק - 272,400,601 ספרים!
אז אם כל ספר יהיה דקיק, בעובי של מילימטר אחד בלבד, המגדל שלנו יהיה בגובה של... 272 מטרים שזה יותר גבוה ממגדל עזריאלי בתל אביב! 🏗️
בואו ננסה את זה בבית...
קבלו תרגיל למעבדה הביתית.
מה נצטרך:
5-10 ספרים זהים בגודלם (או כמעט זהים)
שולחן יציב
הרבה סבלנות!
איך מתחילים:
הניחו ספר אחד על השולחן כך שחצי ממנו בולט
הניחו ספר שני מעליו, שגם הוא בולט - חצי מהאורך שלו יחסית לספר התחתון
לפני שתוסיפו את הספר הבא, חשבו איפה צריך להיות מרכז המסה של כל הערימה
המשיכו כך עד שהספרים נופלים (וזה יקרה!)
💡 טיפ חשוב: התחילו עם הספרים היותר כבדים וגדולים - הם יותר יציבים מספרים קטנים ודקים.
אז יש דרך טובה יותר?
מתברר שכן! מחקר שכתב פרופסור אורי צוויק מאוניברסיטת תל אביב מראה שאפשר להגיע לאותו מרחק אבל עם פחות ספרים - אם נערום אותם בצורה חכמה יותר.
למשל, במקום 4 ספרים כדי לבלוט מרחק של ספר אחד, אפשר לעשות את זה עם 3 ספרים בלבד, ובמקום 1,674 ספרים כדי לבלוט 4 ספרים, אפשר לעשות את זה עם 95 ספרים "בלבד". אבל כדי להבין את זה צריך להתעמק ביפן המתמטי (מוזמנים להתעמק במאמר עצמו אם זה מעניין אתכם להכיר את הנוסחה).
ולמה זה מעניין חוץ מהצמצום של הספרים?
כי בעיית ערימת הספרים היא דוגמה נהדרת לכמה וכמה דברים:
פיזיקה:
אנחנו לומדים על מרכז מסה (שהיא, כאמור, נקודת האיזון של חפצים), איזון (מצב שבו דברים לא נופלים כי הכוחות מאוזנים) וכוחות (הדחיפות והמשיכות שפועלות על חפצים) - מושגים בסיסיים בפיזיקה שאפשר לחוות באופן ממשי (ושקוסמים מנצלים כדי ליצור אשליות מדהימות...).
הכוח העיקרי שפועל כאן הוא כוח הכבידה שמושך את הספרים כלפי מטה.
מתמטיקה:
אנחנו פוגשים סדרות אינסופיות ולומדים שאפילו כששואפים לאינסוף, זה לא אומר שמגיעים שם מהר...
אלגוריתמים:
אנחנו רואים איך שיטות שונות לפתרון אותה בעיה יכולות להיות יעילות בצורות שונות לגמרי.
מעבר מהתיאוריה למעשה:
בחיים האמיתיים, גורמים כמו חיכוך (החספוס בין הספרים), רוח, חוסר איזון (כשמרכז המסה לא בדיוק במקום הנכון) ואי-קשיחות של החומרים (תחשבו למשל מה קורה לספר עם כריכה רכה ואיך הוא יתכופף קצת בגלל המשקל מעליו...) מגבילים את מה שאפשר לעשות בפועל.
סיכום: הפיזיקה היא 'קסם' מדעי שנמצא בכל מקום
בעיית ערימת הספרים היא דוגמה מושלמת לכך שמתמטיקה ופיזיקה לא חייבות להיות משעממות.
זה אתגר שמתחיל פשוט אבל מוביל למושגים עמוקים, וגם אם הספרים בסוף נופלים (וככל הנראה הם יפלו לכם...), התהליך עצמו מלמד הרבה.
פיזיקה היא בכל מקום סביבנו - צריך רק ללמוד לראות מה שמסתתר מאחורי הדברים הרגילים, ומותר - ואף כדאי - לבדוק ולשאול שאלות ולא רק לקבל את הדברים "כי ככה זה", כי כמו שאמר אלברט איינשטיין: "הדבר החשוב ביותר הוא לא להפסיק לשאול" (גם אם זאת רק ערימת ספרים שלא נופלת מהשולחן...).
נכתב בזכות ציוץ של הפיזיקאי יונתן אלבז
