חידה לחובבי מתמטיקה בנושא קוביות בקומות

מתמטיקה זה לא השטן (כמו האמונה התפלה והטפלה...). ואנחנו כאן כדי שתגלו איך אפשר ליהנות ממנה...

אז קבלו למשל, את חידת הקוביות הבאה (כן! זה בהחלט מתמטיקה!).

בואו נראה אתכם פותרים...

החידה:

אם נסדר 100 קוביות קטנות באופן הבא:

1. בשכבה הראשונה, נסדר 25 מהן ב 5 שורות על 5 טורים (5 על 5)

2. בשכבה השנייה, נסדר 25 נוספות ב 5 שורות על 5 טורים.

3. בשכבה השלישית, נסדר 25 נוספות ב 5 שורות על 5 טורים.

4. בשכבה הרביעית, נסדר 25 נוספות ב 5 שורות על 5 טורים.

כלומר בסה"כ יהיו לנו 100 קוביות מסודרות ב 4 שכבות ("קומות") אחת על השנייה ובכל שכבה יהיו בדיוק 25 קוביות "בודדות" אם נרצה לספור גם קוביות שמורכבות מיותר מקוביה אחת, כמה קוביות כאלה יש?

צריך לחשב כמה קוביות של 2X2X2 יווצרו וכמה קוביות של 3X3X3 וכמה קוביות של 4X4X4 יווצרו כתוצאה מהסידור הזה, שבו סידרנו את 100 הקוביות.

כלומר, המטרה שלכם לגלות: כמה קוביות יהיו לנו בסה"כ (בנוסף ל 100 הקוביות הקטנות) ?

למי זה מתאים?

החידה הזאת מתאימה במיוחד לתלמידי כיתות ה'–ח', אך יכולה להיות מאתגרת גם לתלמידי תיכון! 🧩

רק תשובה מלאה עם הסבר ברור ומנומק ו/או איורים , מתקבלת. תחשבו מתמטית, או שתעבדו קשה בלספור...

עובדות מעניינות על קוביות 🎲

ידעתם שהמבנה האדריכלי המפורסם "קוביית המים" שנבנה לאולימפיאדת בייג'ינג 2008 מורכב למעשה מ-3,000 כריות אוויר מרובעות? האדריכלים השתמשו במתמטיקה מתקדמת כדי לתכנן את המבנה המרהיב!

והפיתרון הוא...

👉 הקליקו כדי לגלות, ולראות!

התשובה היא : 170 קוביות!

הנה הסבר ויזואלי:

או כאן, כדי לקבל את ההסבר המלא

מה בעצם בנינו? 🏗️

דמיינו שבנינו מגדל מקוביות קטנות:

• יש לנו 4 קומות לגובה

• בכל קומה יש 5 שורות ו-5 טורים של קוביות, שזה 5x5=25 קוביות לקומה אחת

• בסך הכל: 100 קוביות קטנות (כי 4 קומות כפול 25 קוביות לקומה).

המגדל שלנו נראה כמו קופסה מלבנית בגודל 5×5×4 (רוחב × אורך × גובה).

הטריק שבחידה 🎭

החידה שואלת על קוביות גדולות שמסתתרות בתוך המבנה שלנו. אלו קוביות שמורכבות מכמה קוביות קטנות יחד.

למשל:

• קובייה של 2×2×2 מורכבת מ-8 קוביות קטנות (כי תכפילו...)

• קובייה של 3×3×3 מורכבת מ-27 קוביות קטנות

• קובייה של 4×4×4 מורכבת מ-64 קוביות קטנות

איך סופרים את הקוביות הגדולות? 🔍

נדמיין "חלון הזזה" שמסתכל רק על חלק מהמגדל שלנו. נזיז אותו לכל המקומות האפשריים ונספור כמה פעמים הוא מתאים. (כמו שראינו בסרטון של תמיר, כאן למעלה)

• לקוביות 2×2×2:

  • ברוחב: יש 5 קוביות, ואנחנו צריכים 2, אז יש 4 אפשרויות: 1+2, 2+3, 3+4, 4+5

  • באורך: גם כאן 4 אפשרויות

  • בגובה: יש 4 קומות, צריכים 2, אז יש 3 אפשרויות: 1+2, 2+3, 3+4

  • סך הכל: 4×4×3 = 48 קוביות של 2×2×2

• לקוביות 3×3×3:

  • ברוחב: 3 אפשרויות (1-3, 2-4, 3-5)

  • באורך: 3 אפשרויות

  • בגובה: 2 אפשרויות (1-3, 2-4)

  • סך הכל: 3×3×2 = 18 קוביות של 3×3×3

• לקוביות 4×4×4:

  • ברוחב: 2 אפשרויות (1-4, 2-5)

  • באורך: 2 אפשרויות

  • בגובה: רק אפשרות אחת

  • סך הכל: 2×2×1 = 4 קוביות של 4×4×4

התשובה הסופית 🏆

עכשיו נסכם הכל ביחד :

• 100 קוביות קטנות (1×1×1)

• 48 קוביות בינוניות (2×2×2)

• 18 קוביות גדולות (3×3×3)

• 4 קוביות ענקיות (4×4×4)

בסך הכל: 170 קוביות! 🎉

טיפ קסם לפתרון חידות כאלה 🧙‍♂️

כדי לדעת כמה "חלונות" בגודל k נכנסים לתוך מבנה, השתמשו בנוסחה:

( רוחב פחות k + 1 ) X  ( אורך פחות k + 1 ) X  ( גובה פחות k + 1 )

כי זה הכיף במתמטיקה, לא צריך לספור ידנית, רק להכיר את הנוסחה הנכונה... נסו זאת בעצמכם עם חידות דומות!

גם הפעם היו תשובות. חלקן יותר וחלקן פחות... אבל תשובה ממש מלאה ומנומקת קיבלנו ממיקה, דור, מיכל ודויד

---

החידה באדיבות תמיר כורם, מנחה סדנאות יצירתיות במתמטיקה. מוזמנים ליצור איתו קשר בווטסאפ.