לומדים מתמטיקה: הקשר המדהים בין מספרים אי-זוגיים למספרים מרובעים

kidshamal
לפני יומיים
זמן קריאה 2 דקות

תארו לעצמכם שאתם מגלים קשר מתמטי יפהפה שנשמע כמו קסם, אבל הוא מבוסס על היגיון מתמטי טהור. זה בדיוק מה שקורה כשבוחנים את הסכום של המספרים האי-זוגיים הראשונים.

הדפוס המפתיע 🔢

כולם יודעים ש: 1+3 שווה 4 ושזה גם שווה 2 כפול 2.

כולם גם יודעים ש: 1+3+5 שווה 9 ושזה שווה גם 3 כפול 3.

וכולם גם יודעים ש: 1+3+5+7 שווה 16 ושזה שווה גם 4 כפול 4.

כלומר:

הסכום של שני המספרים האי-זוגיים הראשונים הוא 4 והוא שווה גם ‎2 כפול 2.

הסכום של שלושת המספרים האי-זוגיים הראשונים הוא 9 והוא שווה גם 3 כפול 3.

הסכום של ארבעת המספרים האי-זוגיים הראשונים הוא 16 והוא שווה גם 4 כפול 4.

הסכום של חמשת המספרים האי-זוגיים הראשונים הוא 25 והוא שווה גם 5 כפול 5.

אז...

האם זה נכון תמיד?
האם זה נמשך לנצח?
האם זה סתם צירוף מקרים שהסכום של N המספרים האי-זוגיים הראשונים שווה ל N כפול N ?

פחחחח…

במתמטיקה אין צירופי מקרים!

זה נכון תמיד וכן, זה נמשך לנצח ואפשר להוכיח את זה בכל מיני דרכים!

דרכים להוכחה

ישנן מספר דרכים להוכיח את הקשר הזה:

הוכחה אלגברית
אפשר להשתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית ולחשב את הסכום של n המספרים האי-זוגיים הראשונים באמצעות האלגברה.
הוכחה באינדוקציה מתמטית
זוהי שיטת הוכחה שלומדים בכיתות יא'-יב', שבה מוכיחים שהטענה נכונה למקרה הבסיסי, ואז מראים שאם היא נכונה למקרה כלשהו, היא נכונה גם למקרה הבא.

אבל הכי כיף להוכיח את זה באופן ויזואלי כי אין כמו מראה עיניים…

והנה סירטון קצר שמוכיח את זה:

חידה קטנה:

מה הסכום של 100 המספרים האי-זוגיים הראשונים?

מי שצפה בסרטון ידע את התשובה די מהר... 🎯

עובדות מעניינות 📊

🏺 הקשר הזה ידוע כבר מהתקופה העתיקה, והיווני הקדמון פיתגורס והתלמידים שלו כבר הכירו אותו.
💠 פיתגורס ותלמידיו לא השתמשו במספרים כמו שאנחנו עושים אלא יותר בצורות גיאומטריות, וזו הייתה עבורם אחת הדוגמאות לכך שמספרים וצורות הם בעצם אותו דבר
(עכשיו אתם מבינים את הרעיון של משולש פיתגורס?)
⛩️ גם המתמטיקאים הסינים העתיקים הכירו את הדפוס הזה והבינו את הרעיון המתמטי שמאחוריו.

הידעת? גנומון הוא מונח יווני שמשמעותו במקור "המודד" או "היודע", והוא שימש גם לתיאור העמוד שמטיל צל בשעון השמש, וגם לתאר לבנה בצורת "ר" (או , באנגלית , "L") שמוסיפים לריבוע קיים כדי להרחיב אותו, במתמטיקה.