יום הפאי: המספר שרצה לברוח מהמתמטיקה ולא הצליח 🥧
- לפני יום אחד (1)
- זמן קריאה 4 דקות
אז מה זה בעצם פאי?
תארו לעצמכם שאתם מודדים עיגול. כל עיגול, כל גודל, כל מקום בעולם. מחלקים את ההיקף שלו (הפריפריה - הקו שמסביבו) בקוטר שלו (הקו שחוצה אותו דרך המרכז) - ותמיד, תמיד, תקבלו את אותה התשובה: 3.14159...
זה פאי. מסומן באות היוונית π.
ולא משנה אם העיגול הוא כפתור, גלגל אופניים, כוכב לכת או חור שחור - היחס הזה לא משתנה. אף פעם!
מי "המציא" את פאי?
פאי לא הומצא, הוא התגלה. וכולם גילו אותו בערך בו-זמנית, כי אי-אפשר היה להתעלם ממנו.
הבבלים הכירו אותו לפני כ-4,000 שנה, והשתמשו בקירוב של 3.125. המצרים הקדמונים, לפני כ-3,600 שנה, הגיעו ל-3.1605 - לא רע בכלל לאנשים שעבדו עם חבלים ואבנים. ארכימדס (יוון, המאה ה-3 לפני הספירה) היה הראשון שהתקרב בצורה שיטתית לערך המדויק - הוא הכניס פוליגונים בתוך עיגולים ומחוצה להם, וחישב שפאי גדול מ-3.1408 וקטן מ-3.1429. מדהים לחשוב שבלי מחשב, בלי מחשבון, ובלי נייר מילימטרי.
הסימון באות π הופיע לראשונה אצל המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס ב-1706 - פשוט כי היא האות הראשונה של המילה היוונית "περιφέρεια" (פריפריה). והפך לנפוץ בזכות אוילר, המתמטיקאי הגדול, כמה עשורים אחר כך.
מה הופך את פאי למיוחד כל כך?
פאי הוא מספר אי-רציונלי. כלומר, אי-אפשר לכתוב אותו כמו שבר פשוט. אבל יותר מזה: הוא גם טרנסצנדנטי (שזה מספר שלא ניתן לחשב אותו כפתרון של אף משוואה אלגברית), מה שהוכח רק ב-1882.
המשמעות המוחשית: מספר הספרות שלו אחרי הנקודה העשרונית נמשכות עוד ועוד ועוד - עד לאינסוף, ללא תבנית חוזרת ללא סוף. עד היום חושבו יותר מ-100 טריליון ספרות של פאי (נכון ל-2022), ועדיין אין שם חזרה. אין סוף. אין תבנית.
💡 פאי ומה שאין לו סוף: יש משהו קצת מסחרר בכך שיש מספר שאף פעם לא "נגמר". לא בגלל שאנחנו לא חכמים מספיק כדי למצוא את הסוף שלו - אלא כי הסוף פשוט לא קיים. זה לא רק מתמטיקה, זו שאלה פילוסופית: מה עושים עם אינסוף? איך מחזיקים במוח רעיון שאינו נגמר? (אגב, בהזדמנות זו כנסו לפילוסופיה מאחורי "הסיפור שאינו נגמר", גם שם, האינסוף הוא לא רק רעיון מתמטי אלא כוח).
שיאים, שגעונות ואנשים עם יותר מדי זמן פנוי 🏆
מתמטיקה - בניגוד לאמונות התפלות, היא לא השטן. היא משהו יפה, הנה כמה דברים יפים סביב הפאי הזה:
שיא הזיכרון: ב-2015 הודי בשם ראג'ווסיר הצליח למנות במדויק 70,000 ספרות של פאי בעל-פה. כמה זמן לקח לו להגיד אותן? כמעט 10 שעות.
שיא החישוב: ב-2022 נשבר השיא העולמי עם מחשב שווייצרי (מאוניברסיטת גריזונס) - שחישב 100 טריליון ספרות של פאי. זה לקח לו 157 ימים.
יש ז'אנר ספרותי שבו מספר האותיות בכל מילה צריך להתאים לסדר הספרות של פאי. הז'אנר הזה נקרא "Pilish". המשפט הפותח: How I need a drink, alcoholic of course, after the tough chapters involving quantum mechanics אל תאמינו לנו. תספרו את האותיות בכל מילה: 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5...
עכשיו תנסו לבנות כזה בעצמכם... 😜
הידעת? נאסא משתמשת בפאי עם 15 ספרות אחרי הנקודה בלבד - 3.141592653589793 - גם לחישובים הכי מדוייקים שלה. ואם תיקחו עיגול בקוטר של 40 מיליארד מייל (שזה בערך המרחק לחללית ווייג'ר 1, שהיא הרחוקה ביותר מכדור הארץ) - השגיאה שתצברו מ-15 הספרות האלה בלבד תהיה פחות מ-1.5 סנטימטר
פאי מסתתר בכל מקום - לא רק בעיגולים
וכאן מתחיל החלק שבאמת מפתיע:
בגלים ותנודות - כשגיטרה משמיעה צליל, הגל הקולי שנוצר מתואר על ידי משוואות שמכילות פאי. כשאבן נזרקת למים ועיגולים מתפשטים - פאי שוב שם. הוא לא מוזמן, הוא פשוט חלק מהגיאומטריה של כל תנועה מעגלית ומחזורית בטבע. (כתבנו על גלים ושדות כאן. הקליקו לקרוא)
בסטטיסטיקה - עקומת הפעמון המפורסמת, שמתארת התפלגות של כמעט כל דבר בטבע (גובה אנשים, תוצאות מבחנים, שגיאות מדידה), מכילה פאי בנוסחה שלה.
בפיזיקה הקוונטית - נוסחאות שמתארות התנהגות של אטומים ואלקטרונים מכילות פאי - גם כשאין עיגול אחד בסביבה. (גם על פיזיקה קוואנטית כבר כתבנו).
בנוסחת אויילר המפורסמת: e^(iπ) + 1 = 0 - נחשבת על ידי מתמטיקאים רבים לנוסחה היפה ביותר בעולם. היא כוללת חמישה קבועים מתמטיים מרכזיים במשפט אחד קצרצר.
פאי בחלל - איך נאסא משתמשת בו? 🚀
כשנאסא שולחת חללית למאדים, פאי הוא חלק מהחישובים של גודל המצנח שצריך להאט את הנחיתה בזמן - בלי הנוסחה המדויקת, החללית פשוט תתרסק.
ב-2017 השתמשה החללית קסיני בתמרון שנקרא "Pi Transfer" - הפיכת המסלול סביב שבתאי ב-180 מעלות בדיוק, שזה π רדיאנים. השם של הטכניקה? כמובן, לא מקרי. 😇
כשמדענים מחפשים כוכבי לכת מחוץ למערכת השמש שלנו (אקסופלנטות), הם עוקבים אחרי כוכבים רחוקים ומחפשים ירידה קטנה בכמות האור שהם פולטים. למה? כי זה סימן שכוכב לכת עבר מולם. בעזרת נוסחת שטח עיגול - שמכילה, כמובן, פאי - מחשבים את הגודל המשוער של אותו כוכב. ככה מצאנו אלפי עולמות שלא ידענו עליהם. 🌌
פאי באמנות? מה קורה כשמתמטיקאים הופכים לאמנים 🎨
מסתבר שפאי לא רק שובה לבבות של מדענים וגיקים, אלא גם של אמנים:
מרטין קז'יווינסקי וקריסטיאן אילייס וסיל יצרו ויזואליזציות עגוליות מרהיבות של ספרות פאי - כל ספרה מיוצגת בצבע ובצורה גיאומטרית, והתוצאה היא כמו גלקסיות צבעוניות.
פרויקט פאי (Pi Project) הוא מיצב אמנותי-פסלי ענק, שבו כל ספרה של פאי הופכת לפסל בפני עצמו - עם מיפוי גלובלי של כל האוספים בעולם.
סטיוארט קנת מור (ידוע בשם Booda) מצייר את פאי כסדרה של ריבועים צבעוניים, כשכל ספרה מקבלת צבע קבוע משלה - עד אלפי ספרות. התוצאה נראית כמו פיקסלים של תמונה עצומה שאף אחד לא יראה אותה שלמה (אתם כבר יודעים למה...).
רוצים להצטרף? יש פעילות Pi Skyline שמתאימה לכל גיל: בונים קו-רקיע של עיר שבה גובה כל בניין הוא הספרה הבאה של פאי. 3 קומות, 1 קומה, 4 קומות, 1 קומה...
ויש גם Living Artwork - פרויקט וידאו שמתפתח כל הזמן עם משתתפים מכל העולם, שכולו מבוסס על ספרות פאי:
יום הפאי - ומה זה קשור לאוכל?
יום הפאי חל ב-14 במרץ - כי בארה"ב כותבים קודם את החודש ורק אחר כך את היום (שלא כמו אצלנו), ולכן התאריך נראה 3.14 (בדיוק הספרות הראשונות של פאי).
ב-2009 הכריז הקונגרס האמריקאי רשמית על 14 במרץ כיום הפאי הלאומי. אז כן, יש להם ממש חוק על זה.
ואיך חוגגים? עם פאי (pie - עוגת מלוח או מתוק). למה? כי זה משחק מילים שמתגלגל עוד מהמאה ה-19. הרי באנגלית "π" נשמע כמו "pie", עוגה. אגב, אם תחלקו 22 ב-7 במחשבון, תקבלו 3.142857... - לכן גם ה- 22.7 מזוהה עם פאי ומוגדר כתאריך חצי-רשמי שני שנקרא גם Pie Approximation Day.
📅 אגב - 14 במרץ הוא גם יום ההולדת של אלברט איינשטיין. מקרה? כנראה שכן. אבל גיקים אוהבים לחשוב שלא.
(ולכן, לסיום, מוזמנים לקרוא קצת על הפילוסופיה של איינשטיין...)
