לומדים מתמטיקה: הסוכה המהונדסת - למה משולש לא נשבר?

קחו ארבעה גפרורים והניחו אותם על השולחן בצורת ריבוע והדביקו עם נייר דבק את הפינות. עכשיו דחפו בעדינות פינה אחת פנימה.

הריבוע נכנע מיד. הוא נשען, נמעך, והופך למעוין. אף גפרור לא נשבר, אף חיבור לא התנתק - הצורה פשוט השתנתה.

עכשיו קחו שלושה גפרורים והניחו אותם בצורת משולש והדביקו את הפינות בנייר דבק. דחפו פינה.

שום דבר לא קורה.

אפשר לדחוף חזק יותר, ושוב - שום דבר. אפשר לדחוף בכל הכוח, ואז הגפרור יישבר - אבל הצורה עצמה לא תשתנה עד לרגע השבירה.

זה ההבדל שבזכותו גשרים לא קורסים, ושבזכותו סוכה בחצר לא נופלת ברוח הראשונה של אוקטובר. אחרי שנבין את המדע - נבנה אחת קטנה, ונפיל אותה - בכוונה.

החוק: למה משולש לא נכנע

3️⃣ שלוש צלעות קובעות משולש אחד בדיוק

נניח שנותנים לכם 3 מקלות באורכים 5, 7 ו-9 סנטימטרים ואתם צריכים לבנות מהם משולש.

יש בדיוק דרך אחת לעשות את זה.

אפשר לסובב את המשולש או להפוך אותו, אבל הזוויות בפינות תמיד יהיו אותן זוויות. אין שום בחירה.

ברגע שקבעתם את שלוש הצלעות, המשולש כבר נקבע לגמרי. 

בגיאומטריה קוראים לכלל הזה משפט צלע-צלע-צלע.

4️⃣ וארבע צלעות? לא קובעות כלום

עכשיו ניקח ארבעה מקלות באורך 5 ס"מ כל אחד. הפעם יש אינסוף אפשרויות: ריבוע מושלם, מעוין נטוי קלות, מעוין שטוח שכמעט ונמעך לעובי של מקל אחד. אורכי הצלעות זהים בכולם, ורק הזוויות משתנות.

וזו הבעיה: הזוויות במרובע חופשיות לזוז. 

מהנדסים קוראים לחופש הזה דרגת חופש.

במשולש יש אפס דרגות חופש - אין לו לאן לזוז. במרובע יש דרגת חופש אחת, וזה כל מה שצריך כדי שהוא יקרוס.

הידעת? המשולש הוא המצולע הקשיח היחיד שקיים. גם מחומש, משושה וכל צורה שיש בה יותר מ-3 צלעות סובלים מאותה בעיה, וגרוע יותר: ככל שיש יותר צלעות, יש יותר דרגות חופש ויותר דרכים להתמוטט.

הפתרון: לצייר קו אחד

איך מייצבים את הריבוע? מוסיפים לו אלכסון אחד.

ברגע שמותחים קו מפינה אחת לפינה שממול, הריבוע כבר לא ריבוע - הוא בעצם שני משולשים. ומכיוון שמשולש לא יכול לזוז, גם המבנה כולו לא יכול לזוז.

הפעולה הזאת נקראת שילוש (בלועזית זה נקרא טריאנגולציה).

הידעת? יש לזה נוסחה מדויקת. כדי לייצב מצולע בעל n צלעות צריך n פחות 3 אלכסונים, והוא מתפרק בדיוק ל-n פחות 2 משולשים. ריבוע צריך אלכסון אחד - והוא מתפרק לשניים. מחומש צריך שניים (5-3) ומתפרק לשלושה (5-2). תמיד. 💪

איפה זה נמצא בעולם האמיתי?

ברגע שמבינים את זה, אי אפשר להפסיק לראות את זה:

• בגשרי רכבת - מבנה הפלדה המשולש נקרא "סבכה", והוא כולו רשת של משולשים. אותו רעיון מופיע בעגורני בניין ובמגדל אייפל.

• בשער חצר - כמעט תמיד יש עליו אלכסון אחד. הוא לא לקישוט. בלעדיו השער יצנח כלפי מטה תוך חודשיים.

• בארון ספרים - הלוח הדק שבגב הספרייה עושה בדיוק את אותה עבודה, ומונע מהארון להישען הצידה. לוח כזה נקרא לוח גזירה, והוא תחליף למשולש.

ועכשיו - לניסוי: בונים סוכה זעירה, ומפילים אותה

הרעיון: לבנות שתי סוכות זהות לחלוטין, אחת עם אלכסונים והשניה בלי, ולהפיל אותן.

מה צריך

• שיפודי עץ למוטות (אפשר גם ספגטי יבש, מקלות ארטיק או קשיות - השיפודים הכי מומלצים).

• פלסטלינה לחיבורים, בכדורים קטנים בגודל אפונה (אפשר גם מרשמלו קטן, חימר, או דבק חם בידי מבוגר).

• מספריים חזקים או צבת לחיתוך.

• מאוורר שולחני, או ילד שמוכן לנשוף ממש חזק.

• כמה ספרים לניסוי העומס.

• לסכך ולקישוט: ענפים דקים, קש, נייר צבעוני, חוטים, פירות זעירים מפלסטלינה.

שלב 1: בונים את הבסיס

חתכו שמונה מוטות באורך זהה, נניח 10 ס"מ. הרכיבו מהם ריבוע על השולחן, כשבכל פינה כדור פלסטלינה קטן מחבר בין שני המוטות. הוסיפו ארבעה מוטות ניצבים כלפי מעלה וסגרו מלמעלה בריבוע נוסף.

קיבלתם קובייה פתוחה - שלד של הסוכה.

עצרו כאן ובדקו: דחפו קלות פינה עליונה. השלד ייטה הצידה כמו קופסת קרטון שנמעכת. זו הבעיה שאנחנו הולכים לפתור.

שלב 2: בונים סוכה שנייה, זהה

אותם אורכים, אותם חיבורים. חשוב שהן תהיינה זהות - אחרת לא נדע אם אחת שרדה בזכות האלכסונים או בזכות בנייה טובה יותר.

שלב 3: משלשים רק סוכה אחת

בסוכה השנייה בלבד, הוסיפו אלכסון אחד בכל דופן, מפינה תחתונה לפינה עליונה שממול. הדופן צריכה להיראות כמו ריבוע עם קו נטוי בתוכו. יש ארבע דפנות, אז צריך ארבעה אלכסונים.

שימו לב: תמדדו אותם אחרי שהמבנה כבר עומד - האלכסון תמיד ארוך יותר מהצלע.

נסו שוב לדחוף. ההבדל מיידי: הסוכה הזאת פשוט לא זזה.

שלב 4: מבחן הרוח והעומס

הציבו את שתיהן זו לצד זו והפעילו מאוורר.

התחילו מהמהירות הנמוכה והגבירו. סמנו באיזו מהירות כל אחת מהסוכות קרסה.

אחר כך הניחו על כל גג ספר, ואז עוד אחד, ואז עוד אחד. ספרו ורישמו כמה ספרים כל אחת החזיקה. 

זה הופך את הפעילות מסתם התרשמות למדידה. ככה עושים בניסויי מדע.

שלב 5: הופכים לסוכה של ממש

הניחו ענפים דקים על הגג כסכך, תלו פירות זעירים מפלסטלינה והוסיפו שרשראות נייר. אם אתם מחפשים עוד רעיונות לקישוט, יש לנו מלא סרטוני הדרכה של קישוטים בסוכה.

💡 טיפ שיציל לכם את הניסוי: אם כדורי הפלסטלינה גדולים או רכים מדי, המוטות יסתובבו בתוכם וגם הסוכה המשולשת תיפול. השתמשו בכדורים קטנים וקשים ודחפו את המוטות עמוק פנימה. זה בעצמו עיקרון הנדסי: מבנה משולש חזק רק כמו החיבורים שלו.

למה זה מעניין דווקא בסוכה?

כי סוכה היא מבנה שנועד להיות חלש. 

זו לא תקלה, זו ההגדרה: ארעית, קלה, לא מבוצרת, וגג מחומר צמחי שחייב להישאר דליל מספיק כדי לראות דרכו את השמיים.

אז נשאלת השאלה: איך גורמים למבנה שחייב להיות חלש בכל זאת לעמוד ולהחזיק שבוע?

התשובה היא לא להוסיף חומר - זה יסתור את כל הרעיון. התשובה היא לסדר נכון את החומר המועט שיש. 

אלכסון דק אחד מוסיף כמעט אפס משקל ומכפיל את היציבות. זה בדיוק מה שמהנדסים עושים כשהם בונים מבנים: לא עוד ועוד ברזל, אלא ברזל במקום הנכון.

ואם תסתכלו על הסוכות שבשכונה, תגלו שכמעט בכולן יש אלכסון כלשהו או חבל מתוח באלכסון. חלק מהאנשים עשו את זה כי הם למדו הנדסה. רוב האנשים עשו את זה כי הסוכה של שנה שעברה נפלה...

רגע למחשבה

אם משולש כל כך חזק - למה בכלל בונים חדרים מרובעים?

לשאלה הזאת יש כמה תשובות נכונות בו זמנית:

1. כי בחדר משולש קשה לסדר רהיטים ופינה חדה מבזבזת שטח;

2. כי קל יותר לייצר ולחתוך חומרים בזוויות ישרות;

3. וכי בבית אמיתי הקירות עצמם עושים את עבודת המשולש.  קיר בטון הוא לוח מלא, ולוח מלא לא יכול להישען הצידה. לוח מלא הוא בעצם משולש בתחפושת.

המסקנה המעניינת: משולשים צריך דווקא כשאין חומר - בגשר, בעגורן, באוהל, בסוכה. בכל מקום שבו יש רק מוטות דקים ואוויר ביניהם.

בא לכם להתנסות עוד? קבלו עוד שני ניסויים

• מגדל השיפודים:  עם 20 שיפודים ו-20 מרשמלו, מי יצליח לבנות את המגדל הגבוה ביותר שיחזיק 10 שניות? מה יקרה אם תשלשו בסיס או קיר?

• קופסת הקרטון:  קחו קופסה פתוחה בלי תחתית. נכון שקל לשנות לה את הזוויות בדחיפה קלה? עכשיו הדביקו סרט הדבקה באלכסון ונסו שוב.

בטיחות

• חיתוך שיפודים הוא עבודה של מבוגר, או בהשגחה צמודה. קטמו קצוות חדים לפני שילדים קטנים עובדים איתם.

• פלסטלינה ומרשמלו קטנים אינם מתאימים מתחת לגיל 3 בגלל סכנת חנק.

• דבק חם רק בידי מבוגר. ספגטי יבש נשבר לרסיסים חדים, אספו אותם בסוף.

גיל מומלץ

• בנייה, הפלה וקישוט: מגיל 5, בליווי מבוגר.

• ההסבר על משולש שלא זז ועל האלכסון: מגיל 7 ומעלה.

• דרגות חופש, משפט צלע-צלע-צלע ונוסחת השילוש: מגיל 10 ומעלה.